Mecánica Vectorial para ingenieros "Estática": Estática de partículas

Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y se caracteriza por su punto de aplicación, magnitud o módulo y dirección. Pero las fuerzas sobre una partícula tienen el mismo punto de aplicación. Por tanto, cada fuerza considerada estará definida por su magnitud y dirección.

La magnitud o módulo de una fuerza se caracteriza por cierto número de unidades. La dirección de una fuerza se define como la línea de acción y el sentido de la fuerza. La línea de acción es la línea recta infinita a lo largo de la cual la fuerza; se caracteriza por el ángulo que forma con algún eje fijo.

La fuerza en sí se representa por un segmento de esa línea, mediante el uso de una escala apropiada, puede escogerse la longitud de este segmento para representar la magnitud de la fuerza. Finalmente el sentido de la fuerza debe indicarse por una punta de flecha. En la definición de una fuerza es importante indicar su sentido. Dos fuerzas como las mostradas en la siguiente figura, tienen la misma magnitud y la misma línea de acción pero diferente sentido, tendrán efectos opuestos sobre una partícula.

La evidencia experimental muestra que dos fuerzas P y Q que actúan sobre una partícula A pueden sustituirse por una sola fuerza R que produce el mismo efecto sobre la partícula. A esta fuerza se le llama resultante de las fuerzas P y Q y puede obtenerse al construir un paralelogramo con P y Q como lados. La diagonal que pasa por A representa la resultante. Esto se conoce como la Ley del paralelogramo para la adición de dos fuerzas, y se basa en la evidencia experimental, no puede probarse ni derivarse de manera matemática.

VECTORES

En apariencia las fuerzas no obedecen reglas de la adición definidas en la aritmética o en el álgebra ordinaria. Por ejemplo, dos fuerzas que actúan formando un ángulo recto, una de 4 Lb y otra de 3 Lb, suman una fuerza de 5 Lb y no una de 7 Lb. Las fuerzas no son las únicas cantidades que siguen la ley del paralelogramo para la adición.

Los vectores se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud, dirección y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo.

ADICION O SUMA DE VECTORES

La suma de dos vectores P y Q se obtiene uniendo los dos vectores al mismo punto A y construyendo un paralelogramo que tenga por lados a P y a Q. La diagonal que pasa por A representa la suma vectorial de P y Q, y se representa por P+Q.

P+Q= Q+P

PROBLEMAS

PROBLEMA RESUELTO 4.5

Un peso de 400 lb se une a la palanca mostrada en la figura en el punto A. La constante del resorte BC es K=250 lb/in y este no se encuentra deformado cuando

Θ=0. Determine la posición de equilibrio.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.

Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la palanca junto al cilindro. Represente con s la elongación del resorte a partir de la posición en que este no se encuentra deformado y observe que s=rΘ, se tiene que F=ks=krΘ.

ECUACION DE EQUILIBRIO. Sumando los momentos de W y de F con respecto a O, se escribe:

Sustituyendo los datos numéricos que fueron proporcionados se obtiene:

Al resolver numéricamente, se encuentra que

Θ= 0 Θ=80.3°

Problema 2

El marco mostrado en la figura sostiene una parte del techo de un pequeño edificio. Se sabe que la tensión en el cable es de 150 KN, determine la reacción en el extremo fijo E.

Solución

Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre del marco junto con el cable BDF. La reacción en el extremo fijo E está representada con los componentes de la fuerza E_x y E_yy por el par M_E.las otras fuerzas actúan sobre el diagrama de cuerpo libre son las cuatro cargas de 20 KN y la fuerza de 150 KN ejercida en el extremo F del cable.

(20 KN) (7.2 M)+ (20 KN) (5.4 M)+ (20 KN) (3.6 M)+(20 KN) (1.8 M)- 6/7.5(150 KN) (4.5 M)+ M_E=0

M_E=180.0 KN.M

M_E=180 KN. M

Problema 3

Se aplican tres cargas a una viga como se muestra en la figura. La viga se apoya en un rodillo en A y en un perno en B. Sin tomar en cuenta el peso de la viga, determine las reacciones en A y B cuando P=15 kips

Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la viga. La reacción en A es vertical y se representa con A. La reacción en B se representa con las componentes B_x y B_y. Se supone que cada componente actúa en la dirección mostrada e la figura.

Ecuaciones de equilibrio. Se escriben las tres ecuaciones de equilibrio siguientes y se resuelven para las reacciones señaladas.

-(15 kips)(3 ft) + B_y(9 ft) – (6 kips)(11 ft)-(6 kips)(13 ft) = 0

B_y= 21.0 kips

B_y=21.0 kips ↑

-A (9 ft) + (15 kips) (6 ft) – (6 kips) (2 ft) – (6 kips) (4 ft)=0

A=6 kips

A= 6 kips ↑

Comprobación. Se comprueban los resultados sumando las componentes verticales de todas las fuerzas externas.

6 kips – 15 kips + 21 kips – 6 kips – 6 kips=0

Capítulo 3

CUERPOS RIGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZA

3.1 FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS.

Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en dos grupos: 1) fuerzas externas y 2) fuerzas internas.

1. Las fuerzas externas representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración. Ellas son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido. Las fuerzas externas causan que el cuerpo se mueva o aseguran que éste permanezca en reposo.

2. Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman al cuerpo rígido. Si éste está constituido en su estructura por varias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzas internas.

Como ejemplo de fuerzas externas, consideren se las fuerzas que actúan sobre un camión descompuesto que es arrastrado hacia delante por varios hombres mediante cuerdas unidas a la defensa delantera (figura 3.1). Las fuerzas externas que actúan sobre el camión se muestran en un diagrama de cuerpo libre (fıgura 3.2). En primer lugar, se debe considerar el peso del camión. A pesar de que el peso representa el efecto de la atracción de la Tierra sobre cada una de las partículas que constituyen al camión, éste se puede representar por medio de una sola fuerza W. El punto de aplicación de esta fuerza, esto es, el punto en el que actúa la fuerza, se defıne como el centro de gravedad del camión.

3.3. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD. FUERZAS EQUIVALENTES.

El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F’ que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción.

Las dos fuerzas, F y F’, tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Es te principio estable ce que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción.

3.6 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO.

Considere a F como una fuerza que es aplicada en un cuerpo rígido. El efecto que tendrá la fuerza sobre el cuerpo rígido dependerá de donde apliquemos dicha fuerza. Del punto O a A se le conoce como vector de posición (r).

El momento de la fuerza con respecto al punto O queda definido como el producto vectorial de r y F:

Mo= r x F

El momento siempre será perpendicular al plano donde se ubique el punto de referencia, en este caso O. El momento será positivo de acuerdo a su giro.

Por último si contamos con α que es el ángulo formado por las líneas de acción del vector r y la fuerza F, podemos calcular el momento de la siguiente manera:

Mo=r F senα= Fd

Las unidades en las que estára dado el momento será newton-metro.

3.8. COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

En general, la deteminación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica en forma considerable si el vector de fuerza y el vector de posición a partir de su punto de aplicación se descomponen en sus componentes rectangulares x ,y y z . Considere el momento M0 con respecto a O de una fuerza F con componentes Fx, Fy y Fz que está aplicada en el punto A de coordenadas x ,y y z. Se observa que las componentes del vector de posición r son iguales, respectivamente, a las coordenadas x ,y y z del punto A.

Al sustituir a r y a F y recordar los resultados obtenidos, se puede escribir el momento M0 de F con respecto a O de la siguiente forma